2024寒假线下科研·北京：数学分析专题：信号处理的数学表达基于傅里叶级数与变换，及海森堡不等式的调和分析研究【大学组】

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2023-10-23

　　开始日期: 2024-01-12

　　课时安排: 2周专业预修与在线科研+10天面授科研+5周在线论文指导

　　营地地点:北京外国语大学国际会议中心

　　适合人群

　　适合年级 (Grade): 大学生及以上

　　适合专业 (Major): 数学分析、应用数学、纯数学、物理、工程等相关专业学生;学生需要具备大学微积分基础

　　导师介绍

　　Alberto

　　加州大学伯克利分校 (UCB)终身正教授

Alberto

　　Alberto 导师是加州大学伯克利分校应用数学终身正教授，在加州大学伯克利分校讲授线性代数等课程，曾任数学与应用数学中心主任和数学系主任。Alberto曾任英国物理研究所出版刊物Inverse Problems 主编，曾在全球Top1应用数学研究中心纽约大学柯朗数学研究所 (Courant Institute)、IBM全球研究中心、美国最杰出的国家实验室之一劳伦斯伯克利国家实验室(Lawrence Berkeley Lab) 进行教学或研究工作，是LBNL数学系的资深科学家。Alberto的研究聚焦应用数学、数学分析和概率论等，多次应邀至世界各地知名学府发表主旨演讲。

　　Professor Alberto is a Full Professor of Applied Mathematics at the University of California, Berkeley. He teaches courses such as Linear Algebra, and he has served as director of the Center for Pure and Applied Mathematics and then chairman of the UC Berkeley Mathematics Department. Alberto was the editor of “Inverse Problems”, a journal published by the Institute of Physics in the UK. He has taught or researched at the Courant Institute of New York University, one of the world's Top1 applied mathematics research centers; the IBM Global Research Center; and the Lawrence Berkeley National Laboratory, one of the most outstanding national laboratories in the United States. He's a senior scientist in the mathematics department at LBNL. Alberto's research focuses on applied mathematics, mathematical analysis and probability, and he has been invited to give speeches at prestigious universities around the world.

　　任职学校

　　加州大学伯克利分校(UCB)始建于1868年，是美国大学协会14个创始成员之一，世界著名公立研究型大学，在学界享有盛誉，泰晤士高等教育一直将UCB列为世界上最具声望的6所大学之一。2020年UCB在U.S.News美国公立大学排名Top2。“截止2019年3月，UCB的校友、教授及研究人员中共产生了107位诺贝尔奖得主(世界第三)、14位菲尔兹奖得主(世界第四)、25位图灵奖得主(世界第三)。”

　　项目背景

　　“数学是研究数量、结构、变化、空间、信息等概念的一门形式科学”。毕达哥拉斯认为，数学是万物之本源;诺贝尔物理学奖得主伦琴则将数学视为科学家的必备素养。随着计算机技术的发展，数学逐渐跳脱出自然科学、工程技术领域，在金融、人口、环境、交通、哲学等多个社会层级和学科层面发挥着愈发突出的作用。傅里叶分析Fourier analysis 分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。又称调和分析。在经历了近2个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。关于后者的研究又成为群上的傅里叶分析。傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。项目聚焦傅里叶分析这一经典数学分析课题。

　　项目介绍

　　傅里叶分析(Fourier analysis)是分析学中逐渐形成的一个重要分支，它研究并扩展傅里叶级数和傅里叶变换的概念，又称调和分析。在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，并在诸多领域得到广泛应用，如信号处理、量子力学、神经科学等。随着分析学研究的深入，傅里叶分析的延究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。关于后者的研究又成为群上的傅里叶分析。傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。

　　Fourier analysis starts with an effort to solve the heat equation in mathematical physics. It has grown to be a widely tool in both pure and applied mathematics. The entire area of "Harmonic analysis" has its origins in the study of the Fourier transform. It has become the basic tool in signal processing.

　　项目大纲

　　离散傅里叶变换 The N roots of unity: the Discrete Fourier Transform (DFT)

　　傅里叶级数与傅里叶积分 The circle and the integers: Fourier series and the real line: Fourier integrals

　　傅里叶级数的收敛与三种过滤器 Convergence of Fourier series and three different filters: Dirichlet, Fejer, Poisson.

　　海森堡不等式 The Heisenberg inequality

　　均方收敛 The theorem of Riesz and Fisher, mean square convergence

　　高维情况 The Radon transform and the wave equation in dimensions one and three

　　傅里叶变换在量子力学中的应用 Integral operators commuting with differential ones: the Fourier transform and the harmonic oscillator in quantum mechanics

　　傅里叶变换在信号处理中的应用 Time-and-band limiting and the prolate spheroidal differential operator

　　项目回顾与成果展示 Program review and final presentation

　　项目论文指导 Final deliverables tutoring

　　项目收获